10 - Лекция

Матричные игры с неопределенностью

Основные понятия

Неопределенность - это когда противник не имеет противоположных интересов, но выигрыш действующего игрока во многом зависит от неизвестного заранее состояния противника.

Природа - это обобщенное понятие противника, не преследующего собственных целей в данном конфликте, хотя такую ситуацию конфликтом можно назвать лишь условно.

Игра с природой - игра в которой осознанно действует только один из игроков.

Природа может принимать одно из своих возможных состояний и не имеет целью получения выигрыша.

Игра с природой представляется в виде платежной матрицы, элементы которой - выигрыши игрока $A$ , но не являются проигрышами природы $П$ .

Каждый элемент платежной матрицы $a_{i j}$ - выигрыш игрока $A$ , при стратегии $A_{i}$ в состоянии природы $П_{j}$ .

В ы и г р ы ш и г р о к а A \to [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}]

Принятие решений в условиях неопределенности

Предположим, что лицо принимающее решение, может выбрать одну из возможных альтернатив, обозначенных номерами $i = 1, 2, \dots, m$ .

Ситуация является полностью неопределенной, т.е. известен лишь набор возможных вариантов состояний внешней (по отношению к лицу, принимающему решение) среды, обозначенных номерами $j = 1, 2, \dots, n$ .

Если будет принято не решение, а состояние внешней среды соответствует $j$ -й ситуации, то лицо, принимающее решение, получит доход.

Необходимо провести оценку риска в условиях, когда реальная ситуация неизвестна. Если игрока знает, что осуществляется $j$ -е состояние природы, то выбрал бы наилучшее решение, то есть то, которое принесет наибольший выигрыш.

При решении Задачи о принятии решений в условиях неопределенности для отбора вариантов стратегии применяют так называемые критерии оптимальности (альтернативные критерии оптимальности).

критерий Лапласа,
минимаксный (максиминный) критерий,
критерий Сэвиджа,
критерий Гурвица.

Критерий Лапласа

Критерий Лапласа - принцип недостаточного обоснования

распределение вероятностей состояния неизвестно
используется оптимистическое предположение (вероятности всех состояний природы равны между собой)

P (s_{1}) = P (s_{2}) = \dots = P (s_{i}) = \frac{1}{n}

Если величина $v (a_{i}, s_{j})$ представляет собой расходы лица, принимающего решение, то оператор $m a x$ заменяется на $m i n$

m a x_{a_{i}} (\frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{m} v (a_{i}, s_{j}))

Минимаксный (максиминный) критерий

Минимаксный (максиминный) критерий - сводится к выбору наилучшей альтернативы из наихудших или наоборот из наихудших альтернатив наилучшую.

Если величина $v (a_{i}, s_{j})$ представляет получаемую прибыль, то в соответствии с максиминным критерием, в качестве оптимального выбирается решение обеспечивающее

m a x_{a_{i}} {m i n_{s_{j}} v (a_{i}, s_{j})}

Если величина $v (a_{i}, s_{j})$ представляет потери, используется минимаксный критерий, который определяется следующим соотношением

m i n_{a_{i}} {m a x_{s_{j}} v (a_{i}, s_{j})}

Критерий Сэвиджа

Критэрий Сэвиджа - принцип замены матрицы платежей (выигрышей или проигрышей) $v (a_{i}, s_{j})$ матрицей потерь $v (a_{i}, s_{j})$ , которая определяется следующим образом:

V (a_{i}, s_{j}) = [\begin{matrix} m a x_{a_{i}} (v (a_{i}, s_{j})) - v (a_{i}, s_{j}) & , если v - доход \\ v (a_{i}, s_{j}) - m i n_{a_{i}} {v (a_{i}, s_{j})} & , если v - потери \end{matrix}]

Критерий Гурвица

Критерий Гурвица - критерий для принятия решений от оптимистичного до песимистичного.

Для описания склонности лица к оптимизму используется параметр оптимизма $0 \leq a \leq 1$ ,
Пусть величины $v (a_{i}, s_{j})$ представляют доходы,
Тогда решению, выбранному по критерию Гурвица, соответствует:

m a x_{a_{i}} {α \cdot m a x_{s_{j}} v (a_{i}, s_{j}) + (1 - α) m i n_{s_{j}} v (a_{i}, s_{j})}

Если $α = 0$ , критерий Гурвица становится консервативным, так как его применение эквивалентно применению обычного минимаксного критерия.
Если $α = 1$ , критерий Гурвица становится слишком оптимистичным.
Степень оптимизма (или пессимизма) можно конкретизировать надлежащим выбором величины $α$ из интервала $[0, 1]$ .
При отсутствии ярко выраженной склонности к оптимизму или пессимизму выбор $α = 0.5$ представляется разумным. Если величины $v (a_{i}, s_{j})$ представляют потери, то критерий принимает следующий вид:

m i n_{a_{i}} {α \cdot m i n_{s_{j}} v (a_{i}, s_{j}) + (1 - α) m a x_{s_{j}} v (a_{i}, s_{j})}

Пример составления платежной матрицы

Частная фирма производит косметическую продукцию.
В течении месяца реализуется 15, 16 или 17 упаковок товара.
От продажи каждой упаковки фирма получает 75 руб. прибыли.
Если упаковка не продана в месячный срок, она должна быть уничтожена. Потери фирмы составляют 115 руб., если упаковка не продана к концу месяца.
Составить платежную матрицу в соответствии с условием.
Определить сколько упаковок косметики следует производить фирме ежемесячно.

Затраты на производство: $115$ руб.
Доход: $115 + 75 = 190$ руб.
Реализация произведенной продукции по формуле:

Прибыль = Цена \cdot Объем продаж - Себестоимость \cdot Объем производства

[\begin{matrix} S_{1} (15) & S_{2} (16) & S_{3} (17) \\ a_{1} (15) & 1125 & 1125 & 1125 \\ a_{2} (16) & 1010 & 1200 & 1200 \\ a_{3} (17) & 895 & 1085 & 1275 \end{matrix}]

$1125 = 15 \cdot 190 - 15 \cdot 115$
$1010 = 15 \cdot 190 - 16 \cdot 115$
$895 = 15 \cdot 190 - 17 \cdot 115$

$1200 = 16 \cdot 190 - 16 \cdot 115$
$1085 = 16 \cdot 190 - 17 \cdot 115$

$1275 = 17 \cdot 190 - 17 \cdot 115$

Критерий Лапласа: если вероятности состояний природы правдоподобны, то их оценки используют принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которого все состояния природы полагаются равновероятными т.е.:

q_{1} = q_{2} = \dots = q_{n} = \frac{1}{n}

q_{i} = \frac{1}{3}

[\begin{matrix} S_{1} & S_{2} & S_{3} & \sum_{k = 0}^{n} a (i j) \\ A_{1} & 1125 \cdot 0.333 = 375 & 1125 \cdot 0.333 = 375 & 1125 \cdot 0.333 = 375 & 1125 \\ A_{2} & 1010 \cdot 0.333 = 336.667 & 1200 \cdot 0.333 = 400 & 1200 \cdot 0.333 = 400 & \underset{―}{1136.667} \\ A_{3} & 895 \cdot 0.333 = 296.333 & 1085 \cdot 0.333 = 361.667 & 1275 \cdot 0.333 = 425 & 1085 \\ p_{j} & 0.333 & 0.333 & 0.333 \end{matrix}]

Вывод: наибольший уровень прибыли с учетом вероятности был получен при использовании альтернативы 2, организаторы решают производить 15 упаковок косметической продукции.