02 - Лекция

Составление математических моделей

Переменными задачи называются величины $X_{1}, X 2, \dots X n$ , которые полностью характеризуют экономический процесс. Обычно их записывают в виде вектора: $X = (X_{1}, X_{2}, \dots X_{n})$

Системой ограничений задачи называют совокупность уравнений и неравенств, описывающих ограниченность ресурсов в рассматриваемой задаче.

Целевой функцией задачи называют функцию переменных задачи, которая характеризует качество выполнения задачи и экстремум которой требуется найти.

Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования называется любой $n$ -мерный вектор $X = (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})$ , удовлетворяющий системе ограничений и условиям неотрицательности.
Множество допустимых решений (планов) задачи образует область допустимых решений (ОДР)

Оптимальным решением (планом) задачи линейного программирования называется такое допустимое решение (план) задачи, при котором целевая функция достигает экстремума.

Пример составления математической модели

**Задача использования ресурсов (сырья)** Условие: Для изготовления $n$ видов продукции используется $m$ видов ресурсов. Составить математическую модель. Известны: $b_i(i=1,2,3,\ldots,m)$ - запасы каждого $i$-го вида ресурса; $a_{ij}(i=1,2,3,\ldots,m;\space j=1,2,3,\ldots,n)$ - затраты каждого $i$-го вида ресурса на производство единицы объема $j$-го вида продукции; $c_j(j=1,2,3,\ldots,n)$ - прибыль от реализации единицы объема $j$-го вида продукции. Требуется: составить план производства продукции, которая обеспечивает максимум прибыли при заданных ограничениях на ресурсы (сырьё)

Задача про краски
Условие: Фабрика производит 2 вида красок: для наружных и внутренних работ. Для производства красок используется 2 ингредиента $A$ и $B$ . Максимально возможные суточные запасы этих ингредиентов составляют 6 и 8 тонн соответственно. Известны расходы $A$ и $B$ на 1 тонну соответствующих красок. Ингредиент $A$ на первый вид 1 ед., на краску второго 2 ед. Ингредиент $B$ на первый вид 2 ед., на краску второго 1 ед.
Известно:
Первое условие: Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску 2-го вида никогда не превышает спроса на краску 1-го вида больше чем на 1 тонну.
Второе условие: Спрос на краску 2-го вида не превышает 2 тонны в сутки.
Оптовые цены 1 тонны красок равны 3000 руб. для 1-го вида и 2000 руб. для 2-го вида.
Требуется: Построить математическую модель позволяющую установить сколько тонн краски каждого вида необходимо производить, чтобы доход от реализации был максимальным.
Решение:
Определим как выглядит вектор плана из неизвестных $X$ .
$X_{1}$ - краска первого вида.
$X_{2}$ - краска второго вида.
Вектор неизвестных задан.
Теперь разберемся что у нас дано
$B_{1} = 6 т .$
$B_{2} = 8 т$
Теперь составим целевую функцию
$f (x) = 3000 x_{1} + 2000 x_{2} \to m a x$
И найдем ограничения
$x_{1} + 2 x_{2} \leq 6$
$2 x_{1} + x_{2} \leq 8$
$x_{2} - x_{1} \leq 1$
$x_{2} \leq 2$
$x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0$
Получаем:
$f (x) = 3000 x_{1} + 2000 x_{2} \to m a x$
$x_{1} + 2 x_{2} \leq 6$
$2 x_{1} + x_{2} \leq 8$
$x_{2} - x_{1} \leq 1$
$x_{2} \leq 2$
$x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0$

Элементы модели:
1. Исходные данные
1. Детерминированные
2. Случайные
2. Искомые данные
1. Непрерывные
2. Дискретные
3. ...
1. Линейные
2. Нелинейные
3. ...

В чем состоит 2-ая лабораторная работа: Вам дано условие, вам надо построить математическую модель. Следующим этапом вы должны решить эту задачу (подобрать метод). Рекомендуется брать симплекс метод (используя Excel)

Решение задачи в среде Excel:
1. Создайте экранную форму для ввода условий задачи
- Переменные
- Целевая функция
- Ограничения
- Граничные условия
2. Ввести исходные данные в экранную форму
- Коэффициенты целевой функции
- Коэффициенты при переменных в ограничениях
- Правая часть ограничений
3. Вводим зависимости из математической модели в экранную форму
- Формула для расчеты целевой функции
- Формулы для расчеты левых частей ограничений
4. В окне поиск решения задается целевая ячейка и направление целевой функции
- Вводим ограничения решения
- Ячейки со значениями переменных (где искать)
- Граничные условия для допустимых значений
- Соотношения между левыми и правыми частями (знак неравенства)
5. Запустить поиск решения
- Удачно (Решение найдено, задача решена)
- Ошибка (Поиск не может найти подходящее решение/ячейки не сходятся)

Симплекс метод:
Ключевые слова:
Линейные задачи
Симплекс таблица
Итерации
Целевая функция
Ограничения
Канонический вид
Допустимый (начальный, опорный) план
Оптимальный план
Пример таблицы:
!Pasted image 20240918121119.png
$X_{b}$ - базисные переменные (их столько, сколько ограничений)
$C_{b}$ - коэффициенты целевой функции
$B_{b}$ - правая часть ограничений
$A$ - матрица коэффициентов при всех ограничениях
$C$ - коэффициенты для целевой функции и ограничений (при неизвестных)
$f$ - целевая функция
$? / Δ$ - ...
$Q$ - расчетные оценки