03 - Лекция

Преобразование Лапласа. Операционное исчисление

Назначение:

Переход от функций во временной области в функции изобразежения в комплексной плоскости
Упрощение решения дифференциальных уравнений путём сведения к алгебраическим комплексный переменным $\frac{d}{d t} - > S$
Графическое представление системы графического уравнения в виде структурных схем и его преобразования
!Pasted image 20240917122328.png

Определение:

Функция вещественного переменного $x (t)$ называется оригиналом, если она кусочно-непрерывна и равна нулю при $t < 0$ , а так же найдутся такие вещественные числа $M > 0, α > 0$ , что $| x (t) | < M e^{α t}$
Изображение называется функция комплексного уравнения $x (s), s = α + j β$ , которая связана с оригиналом $x (s) = \int_{0}^{\infty} e^{- s t} * x (t) d t$

Обратное преобразование Лапласа

$x (s) - > x (t)$

$x (t) = \frac{1}{2 Π j} \int_{σ - j \infty}^{σ + j \infty} e^{s t} x (s) d s$

Основные правила (свойства) операционного исчисления

Линейеность

$x_{1} (t) + x_{2} (t) - > x_{1} (s) + x_{2} (s)$
$α x (t) - > α x (s)$

Подобие

$x (t) - > x (s)$ , то $x (α t) - > \frac{1}{α} x (\frac{s}{α}; α > 0$

Изображение производной

$x^{(n)} (t) = \frac{d^{n} (x)}{d t^{n}} * s^{n} x (s) - s^{n - 1} x^{’} (0) - s^{n - 2} x^{”} (0) - ... - s x^{(n - 1)} - x^{(n - 1)} (0)$

$x^{n - i} (0)$ —
Примечение при $x^{n - i} (0) = 0$ :
....

Изображение интеграла

Если $x (s) - > x (t)$ , то $\int_{0}^{t} d τ => \frac{1}{s} x (s); s = α + j ω$

Теорема смещения

$x (s + λ) => e^{- λ t} * x (t), λ = c o n s t$

Теорема запаздывания

$x (t - λ) * 1 (t - λ) => e^{- λ s} x (s)$
!Pasted image 20240917123825.png

Дифференцирование изображения

$x^{(n)} (s) => (- 1)^{n} * t^{n} x (t), n > 0 и целое$

Интегрирование изображения

$\int_{s}^{\infty} d s \int_{s}^{\infty} d s ... \int_{s}^{\infty} s (s) d s => \frac{x (t)}{t^{n}}$

Теорема свёртки

$x_{1} (s) * x_{2} (s) => \int_{0}^{t} x_{1} (t - τ) * x_{2} (τ) d τ = \int_{0}^{t} x_{1} (τ) * x_{2} (t - τ) d τ$

Пример

Амортизатор автомобиля
(картинка)

Уравнение механического равновесия

$F - F_{д} - F_{п} = 0$
$F - C_{1} \dot{x} (t) - C_{2} x (t) = 0$

Подвергнем это уравнение преобразованию Лапласа
$F (s) - C_{1} s x (s) + c_{1} x (0) - C_{2} x (s) = 0$
$F (s) + C_{1} x (0) = (C_{1} s + C_{2}) x (s)$

$x (s) = \frac{F (s) + C_{1} x (0)}{(C_{1} s + C_{2})}$
$W (s) = \frac{x (s)}{F (s)} = \frac{K}{T S - 1}$

Передаточные функции САУ

При помощи передаточных функций составляют математические модели объектов САУ, описываемые дифференциальными уравнениями в линейной форме

Пусть имеется САУ, которое описывается дифференциальным уравнением n-го порядка в скалярной форме $\sum_{i = 0}^{n} a_{i} \frac{d^{n - i} x (t)}{d t^{n - 1}} = \sum_{j = 0}^{m} b_{j} \frac{d^{m - j} u (t)}{d t^{m - 1}}, a_{i} = c o n s t, b_{j} = c o n s t$

Запишем изображение ДУ по Лапласу при нулевых начальных условиях
$x (0) = x^{’} (0) = x^{”} (0) = . . . = x^{(n - 1)} (0) = 0$
$u (0) = u^{’} (0) = u^{”} (0) = . . . = u^{(m - 1)} (0) = 0$

$x (s) * \sum_{i = 0}^{n} a_{i} S^{n - i} = \sum_{j = 0}^{m} b_{j} S^{m - j} * u (S)$

$W (S) = \frac{x (S)}{u (S)} = \frac{\sum_{j = 0}^{m} b_{j} S^{m - j}}{\sum_{i = 0}^{n} a_{i} S^{n - i}} = \frac{M (S)}{N (S)}, n > m, M (S) — многочлен m-ой степени от S, N (S) — многочлен n-ой степени от S$

Определение:

Передаточной функцией объекта называется отношение изображения по Лапласу выходной координаты $x (S)$ к входному сигналу $u (S)$ при начальных нулевых условиях

Примечание: если многочлены M и N имеют корни вида $M (S) - > γ_{1}, γ_{2}, . . ., γ_{m}$ , $N (S) - > α_{1}, α_{2}, . . ., α_{m}$ , тогда $W (S) = \frac{b_{0} (S - γ_{1}) (S - γ_{2}) . . . (S - γ_{m})}{a_{0} (S - α_{1}) (S - α_{2}) . . . (S - α_{n})}$

Значение S, при которых $W (S)$ обращается в 0 называется нулями передаточной функции
$γ_{1}, γ_{2} . . . γ_{m}$

Значения S, при которых $W (S)$ обращается в бесконечность называются полюсами передаточной функции
$α_{1}, α_{2} . . . α_{m}$

Нахождение нулей и полюсов в Матлабе

В главном окне Matlab

> $W = t f ([k_{1}, k_{2}, . . ., k_{m}], [k_{1}, k_{2}, . . ., k_{n}])$
> $Z e r o (W)$ ; вычисление нулей ПФ
> $P o l e (W)$ ; вычисление полюсов
!Pasted image 20240917123856.png
!Pasted image 20240917123914.png

Расположение нулей и полюсов в комплексной плоскости определяют динамические свойства САУ

Переход от скалярной формы ДУ к векторной

$\vec{\dot{X}} = A \vec{X} + B \vec{U}; \vec{\dot{X}} = {{\dot{x}}_{1}, {\dot{x}}_{2}, . . ., {\dot{x}}_{n}}^{T}, X = {x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n}}^{T}$

Изображение по Лапласу скалярного ДУ

Обозначим:
$x (t) = x_{1}; {\dot{x}}_{1} = x_{2}; {\dot{x}}_{2} = x_{3}, . . ., {\dot{x}}_{n - 1} = x_{n}$
Тогда получим
$\frac{a_{n}}{a_{0}} x_{1} + \frac{a_{n - 1}}{a_{0}} x_{2} + \frac{a_{n - 2}}{a_{0}} x_{3} + . . . + \frac{a_{1}}{a_{0}} x_{1} + {\dot{x}}_{n} = \frac{u}{a_{0}}$
${\dot{x}}_{n} = - \frac{a_{n}}{a_{0}} x_{1} - \frac{a_{n - 1}}{a_{0}} x_{2} - \frac{a_{n - 2}}{a_{0}} x_{3} - . . . - \frac{a_{1}}{a_{0}} x_{1} + \frac{u}{a_{0}}$
Записываем матрицу A
$[\begin{matrix} \dot{x_{1}} \\ \dot{x_{2}} \\ ⋮ \\ \dot{x_{n}} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ - \frac{a_{n}}{a_{0}} & - \frac{a_{n - 1}}{a_{0}} & - \frac{a_{n - 2}}{a_{0}} & - \frac{a_{n - 3}}{a_{0}} & - \frac{a_{n_{4}}}{a_{0}} & \dots & - \frac{a_{1}}{a_{0}} \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ \frac{1}{a_{0}} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ u_{1} \end{matrix}]$