02 - Лекция

Математическое описание САУ

Любая САУ для анализа разбивается на конечное число элементов (устройств) математическое описание которых известно.

Условное обозначение математической модели САУ
!Pasted image 20240909165745.png
$\overset{―}{U} (s)$ - вектор входного сигнала
$\overset{―}{X} (s)$ - вектор выходных переменных

Существует 2 модели.

Задача анализа
Состоит в следующем: при заданной структуре объекта $\overset{―}{W} (s)$ определить вектор $\overset{―}{X} (s)$ при определенном виде $\overset{―}{U} (s)$ , то есть определить закон изменения энергии.
Задача синтеза
При заданном воздействии $\overset{―}{U} (s)$ и $\overset{―}{X} (s)$ определить структуру и вид объекта $\overset{―}{W} (s)$ .

Математическая модель отражает основные количественные связи физических процессов преобразования энергии в объекте управления

2.1. Способы описания математических моделей

$$\sum_{i=0}^n a_ix^{(n-i)}(t) = \sum_{i=0}^mb_ju^{(m-j)}$$

Векторно-матричная формула

Дифференциальное уравнение векторно-матричной формулы

\overset{―}{\dot{X}} = \frac{d \overset{―}{X} (t)}{d t} - b - p

\overset{―}{X} (t) = {x_{1}, x_{2} \dots x_{n}}

\overset{―}{U} (t) = {U_{1}, U_{2} \dots U_{n}}

!Pasted image 20240909141639.png

Блоки MATLAB

!Pasted image 20240909142134.png 1. Скалярная форма !Pasted image 20240909171457.png 2. Векторная форма !Pasted image 20240909171514.png

2.1.2 ДУ в частных производных

$$\frac{\partial L}{\partial X} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{X}} = 0$$ $$L = L\left(x,\dot x, t \right)$$ Уравнение струны $$\frac{\partial^2x}{\partial t^2}+\frac{\partial^2x}{\partial z^2}=\alpha U\left(Z,t\right)$$

2.1.3 Разностные уравнения

Описывают дискретные системы которые квантованы по времени и по уровню Мат.описание следующее $$\sum_{i=0}^na_jx(n-i)=\sum_{j=0}^mb_ju(m-j)$$ $$n = 0 \ldots k$$

Разностное уравнение в векторной форме

\overset{―}{X} (n + 1) = \overset{―}{F} (\overset{―}{X} (n), \overset{―}{U} (n), n)

n - текущее дискретное время
!Pasted image 20240909172128.png

2.1.4 Логические уравнения

Использует уравнения Булевой алгебры над логическими переменными. Логическая переменная, это переменная которая может принимать одно из двух значений: или 1, или 0.

x_{i} = {_{1, T R U E}^{0, F A L S E}

F = (x_{1} \lor \overset{―}{x_{2}}) & x_{3}

И составляется таблица истинности
!Pasted image 20240909143607.png

2.1.5 Преобразование Лапласа

Используется в области изображения комплексных переменных

x (s) = \int_{0}^{\infty} x (t) e^{- s t} d t

s = α + j β, t - вещественная функция времени

Преобразование Лапласа переводит функции во времени в функции изоображения
!Pasted image 20240909173034.png

2.1.6 Нелинейное ДУ в векторно-матричной форме

!Pasted image 20240909173153.png $$\overline{\dot{X}}=\overline{F}\left(\overline{X}(t),\overline{U}(t),t\right)$$ $$\overline{X}=\{x_1,x_2\ldots x_n\}^T$$ $$\overline{U}=\{u_1,u_2\ldots u_n\}^T$$ $u$ - время скалярной переменной $$\begin{bmatrix}\frac{dx_1}{dt}=f_1\left(x_1,x_2\ldots x_n;u_1,u_2\ldots u_n,t\right) \\ \frac{dx_2}{dt}=f_2\left(x_1,x_2\ldots x_n;u_1,u_2\ldots u_n,t\right) \\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ \frac{dx_n}{dt}=f_n\left(x_1,x_2\ldots x_n;u_1,u_2\ldots u_n,t\right) \end{bmatrix}$$ Общее решение однородного ДУ в векторно-матричной форме

\overset{―}{\dot{X}} = A \cdot \overset{―}{X}

\overset{―}{X} (0) = \overset{―}{X_{0}}

Решение

\overset{―}{X} (t) = e^{A \cdot t} \cdot e^{- A t_{0}} \cdot X_{0} = e^{A (t - t_{0})} \cdot X (t_{0})

$e$ - Матричная экспонента

A = [\begin{matrix} a_{11}, a_{12} \dots a_{1 n} \\ a_{21}, a_{22} \dots a_{2 n} \\ \dots \dots \dots \dots \dots \\ a_{m 1}, a_{m 2} \dots a_{m n} \end{matrix}]

2.1.7 Линеаризация ДУ

Для удобства синтеза-регуляторов обычно производят линеаризацию ДУ. Физическая сущность линеаризации для одномерного пространства !Pasted image 20240909190350.png $$X_0=f\left(U_0\right)\text{ - точка линеризации}$$

\frac{d Δ x}{d t} = a_{1} Δ x + b_{1} Δ u

\overset{―}{\dot{X}} = \overset{―}{F} (\overset{―}{X}, \overset{―}{U}, t), \overset{―}{X} \in R^{n}

\overset{―}{\dot{X_{0}}} = 0 = \overset{―}{F} (\overset{―}{X_{0}}, \overset{―}{U_{0}}, t), \overset{―}{U} \in R^{n}

X (t) = \overset{―}{X_{0}} (t) + Δ \overset{―}{X} (t)

\overset{―}{U} (t) = \overset{―}{U_{0}} (t) + Δ \overset{―}{U} (t)

\overset{―}{F} (\overset{―}{X_{0}}, \overset{―}{U_{0}}, t) + \frac{\partial \overset{―}{F} (\cdot)}{\partial \overset{―}{X}}, X = X_{0}, U = U_{0}

\overset{―}{\dot{X}} (t) = \overset{―}{F} ((\overset{―}{X_{0}} + Δ \overset{―}{X}), (\overset{―}{U_{0}} + Δ \overset{―}{U}), t) = Δ X + \frac{\partial \overset{―}{F} (\cdot)}{\partial \overset{―}{U}}, X = X_{0}, U = U_{0}

Окончательная запись линеаризованного ДУ в векторно-матричной форме

Δ \overset{―}{\dot{X}} = A (t) Δ \overset{―}{X} + B (t) Δ \overset{―}{U}

A (t) = | | \frac{\partial \overset{―}{F_{i}} (\cdot)}{\partial x_{j}} | |, x = x_{0}, u = u_{0}

B (t) = | | \frac{\partial \overset{―}{F_{i}} (\cdot)}{\partial U_{j}} | |, x = x_{0}, u = u_{0}

2.2. ЧАСТОТНЫЙ АНАЛИЗ САУ

$$U(t)=Am\sin(\omega t+\phi)$$ $$\omega = 2\pi f \space\text{- круговая частота}$$ $f=\frac{A}{T}\space\text{- частота}$ $Am\space\text{- амплитуда сигнала }$ $\phi\space\text{- фаза сигнала}$ !Pasted image 20240909192638.png

!Pasted image 20240909151821.png

2.2.1 Амплитудно-частотная характеристика

$$A(\omega)=\frac{X_m(\omega)}{U_m(\omega)}$$

2.2.1 Фазо-частотная характеристика

$$\Phi(\omega)=\frac{\phi(\omega)}{\phi_0(\omega)}$$

2.2.1 Амплитудно-фазо-частотная характеристика

Амплитудно-фаза-частотная характеристика получается из передаточной функции объекта путем замены... $$W(s)=W(j\omega)=P(\omega)=jQ(\omega)=A(\omega)e^{j\Phi(\omega)}$$

!Pasted image 20240909152344.png